2016年高考全國卷新課標三理科數學試題解析（word版）
2016年普通高等學校招生全國統一考試
理科數學
注意事項：
1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。第Ⅰ卷1至3頁，第Ⅱ卷3至5頁。
2.答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在本試題相應的位置。
3.全部答案在答題卡上完成，答在本試題上無效。
4. 考試結束后，將本試題和答題卡一并交回。
第Ⅰ卷
選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合
題目要求的。
試題分析：由題意，得
，所以
，故選A．
考點：向量夾角公式．
（4）某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達圖。
圖中A點表示十月的平均最高氣溫約為150C，B點表示四月的平均最低氣溫約為50C。下面敘述不正確的是
(A) 各月的平均最低氣溫都在00C以上 (B) 七月的平均溫差比一月的平均溫差大
(C) 三月和十一月的平均最高氣溫基本相同 (D) 
平均氣溫高于200C的月份有5個
【答案】D
考點：1、平均數；2、統計圖
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
【答案】B
考點：程序框圖．
（8）在
中，
，BC邊上的高等于
,則
考點：余弦定理．
(9)如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實現畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為
（A）
（B）
（C）90 （D）81
【答案】B
考點：空間幾何體的三視圖及表面積．
(10) 在封閉的直三棱柱
內有一個體積為V的球，若
，
，
，
，
則V的最大值是
（A）4π （B）
（C
）6π （D）
【答案】B
【解析】
試題分析：要使球的體積
最大，必須球的半徑
最大．由題意知球的與直三棱柱的上下底面都相切時，球的半徑取得最大值
，此時球的體積為
，故選B．
考點：1、三棱柱的內切球；2、球的體積．
（11）已知O為坐標原點，F是橢圓C：
的左焦點，A，B分別為C的左，右頂點.P
為C上一點，且
軸.過點A的直線l與線段
交于點M，與y軸交于點E.若直線BM經過OE的中
點，則C的離心率為
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】A
考點：橢圓方程與幾何性質．
（12）定義“規范01數列”{an}如下：{an}共有2m項，其中m項
為0，m項為1，且對任意
，
中0的個數不少于1的個數.若m=4，則不同的“規范01數列”共有
（A）18個 （B）16個 （C）14個 （D）12個
【答案】C
【解析】
試題分析：由題意，得必有
，
，則具體的排法列表如下：
0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 | 1 | ||||
1 | 0 | 1 | |||||
| 1 | 0 | ||||||
1 | 0 | 0 | 1 | 1 | |||
1 | 0 | 1 | |||||
| 1 | 0 | ||||||
1 | 0 | 0 | 1 | ||||
| 1 | 0 | ||||||
1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | ||
1 | 0 | 1 | |||||
| 1 | 0 | ||||||
1 | 0 | 0 | 1 | ||||
 1 | 0 |
考點：計數原理的應用．
第II卷
本卷包括必考題和選考題兩部分。第（13）題~第（21）題為必考題，每個試題考生都必須作答。第（22）題~第（24）題未選考題，考生根據要求作答。
二、填空題：本大題共3小題，每小題5分
（13）若
滿足約束條件
則
的最大值為_____________.
【答案】
考點：簡單的線性規劃問題．
（14）函數
的圖像可由函數
的圖像至少向右平移_____________個
單位長度得到．
【答案】
【解析】
試題分析：因為
，
＝
，所以函數
的圖像可由函數
的圖像至少向右平移
個單位長度得到．
考點：1、三角函數圖象的平移變換；2、兩角和與差的正弦函數．
（15）已知
為偶函數，當
時，
，則曲線
在點
處的切線方程
是_______________。
【答案】
考點：1、函數的奇偶性與解析式；2、導數的幾何意義．
（16）已知直線
：
與圓
交于
兩點，過分別做的垂線與
軸
交于
兩點，若
，則
__________________.
【答案】4
【解析】
試題分析：因為
，且圓的半徑為
，所以圓心
到直線
的距離為
，則由
，解得
，代入直線
的方程，得
，所以直線的傾斜角為
，由平面幾何知識知在梯形
中，
．
考點：直線與圓的位置關系．
三、解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
（17）（本小題滿分12分）
已知數列
的前n項和
，其中
．
（I）證明是等比數列，并求其通項公式；
（II）若
，求
．
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）
．
【解析】
考點：1、數列通項
與前
項和為
關系；2、等比數列的定義與通項及前項和為．
（18）（本小題滿分12分）
下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量（單位：億噸）的折線圖
（I）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關系，請用相關系數加以說明；
（II）建立y關于t的回歸方程（系數精確到0.01），預測2016年我國生活垃圾無害化處理量。
參考數據：
，
，
，≈2.646.
參考公式：相關系數
回歸方程
中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：
【答案】（Ⅰ）理由見解析；（Ⅱ）1.82億噸．
（Ⅱ）由
及（Ⅰ）得
，
.
所以，
關于
的回歸方程為：
.
將2016年對應的
代入回歸方程得：
.
所以預測2016年我國生
活垃圾無害化處理量將約1.82億噸.
考點：線性相關與線性回歸方程的求法與應用．
（19）（本小題滿分12分）
如圖，四棱錐
中，
地面
，
，
，
，
為線段
上一點，
，
為
的中點．
（I）證明
平面
；
（II）求直線
與平面
所成角的正弦值.
【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）
．
考點：1、拋物線定義與幾何性質；2、直線與拋物線位置關系；3、軌跡求法．
（21）（本小題滿分12分）
設函數
，其中
，記
的最大值為
．
（Ⅰ）求
；
（Ⅱ）求；
（Ⅲ）證明
．
考點：1、三角恒等變換；2、導數的計算；3、三角函數的有界性．
請考生在[22]、[23]、[24]題中任選一題作答。作答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目題號后的方框涂黑。如果多做，則按所做的第一題計分。
22.（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講
如圖，⊙O中
的中點為
，弦
分別交
于
兩點．
（I）若
，求
的大小；
（II）若
的垂直平分線與
的垂直平分線交于點
，證明
．
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）見解析．
考點：1、圓周角定理；2、三角形內角和定理；3、垂直平分線定理；4、四點共圓．
23.（本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數方程
在直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
，以坐標原點為極點，以
軸的正半軸為極軸，，建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
.
（I）寫出的普通方程和的直角坐標方程；
（II）設點P在
上，點Q在上，求|PQ|的最小值及此時P的直角坐標.
【答案】（Ⅰ）
的普通方程為
，
的直角坐標方程為
；（Ⅱ）
．
考點：1、橢圓的參數方程；2、直線的極坐標方程．
24.（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講
已知函數
（I）當a=2時，求不等式
的解集；
（II）設函數
當
時，
，求
的取值范圍.
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）
．
【解析】
試題分析：（Ⅰ）利用等價不等式
，進而通過解不等式可求得；（Ⅱ）根據條件可首先將問題轉化求解
的最小值，此最值可利用三角形不等式求得，再根據恒成立的意義建立簡單的關于
的不等式求解即可．
試題解析：（Ⅰ）當
時，
.
解不等式
，得
.
因此，
的解集為
. ………………5分
（Ⅱ）當
時，
，
當
時等號成立，
考點：1、絕對值不等式的解法；2、三角形絕對值不等式的應用．
